На протяжении всей истории цифровых компьютеров для представления отрицательных чисел использовались 4 различные системы. Первая из них называется системой со знаком. В такой системе крайний левый бит - это знаковый бит

(О - плюс, 1 - минус), а оставшиеся биты показывают абсолютное значение числа.

Во второй системе, которая называется дополнением до единицы, тоже присутствует знаковый бит (0 - плюс, 1 - минус). Чтобы сделать число отрицательным, нужно заменить каждую единицу нулем и каждый ноль единицей. Это относится и к знаковому биту. Система дополнения до единицы уже устарела.

Третья система, дополнение до двух, содержит знаковый бит (0 - плюс, 1 - минус). Отрицание числа происходит в два этапа. Сначала каждая единица меняется на ноль, а каждый ноль - на единицу (как и в системе дополнения до единицы). Затем к полученному результату прибавляется единица. Двоичное сложение происходит точно так же, как и десятичное, только перенос совершается в том случае, если сумма больше 1, а не больше 9. Например, рассмотрим преобразование числа 6 в форму с дополнением до двух:

♦ Число +6:

00000110

♦ Число -6 в системе с дополнением до единицы:

11111001

♦ Число -6 в системе с дополнением до двух:

11111010

Если нужно совершить перенос из крайнего левого бита, он просто отбрасывается.

В четвертой системе, которая для га-разрядных чисел называется системой со смещением на 2т_1, число представляется как сумма этого числа и 2т_1. Например, для 8-разрядного числа (т = 8) - это система со смещением на 128, в ней число сохраняется в виде суммы исходного числа и 128. Следовательно, -3 превращается в -3 + 128 = 125, и это число (-3) представляется 8-разрядным двоичным числом 125 (01111101). Числа от -128 до +127 выражаются числами от 0 до 255 (все их можно записать в виде 8-разрядного положительного числа). Отметим, что эта система соответствует системе с дополнением до двух с обращенным знаковым битом. В табл. А.2 представлены примеры отрицательных чисел во всех четырех системах.

В системах со знаком и с дополнением до единицы есть два представления нуля: +0 и -0. Такая ситуация нежелательна. В системе с дополнением до двух такой проблемы нет, поскольку здесь плюс ноль - это всегда плюс ноль. Но зато в этой системе есть другая особенность. Набор битов, состоящий из единицы, за которой следуют все нули, является дополнением самого себя. В результате ряд положительных и отрицательных чисел несимметричен - существует одно отрицательное число без соответствующего ему положительного.

Мы считаем это проблемами, поскольку хотим иметь систему кодировки, в которой:

♦ существует только одно представление нуля;

♦ количество положительных чисел равно количеству отрицательных.

Таблица А.2. Отрицательные 8-разрядные числа в четырех различных системах

Дело в том, что любой ряд чисел с равным количеством положительных и отрицательных чисел и только одним нулем содержит нечетное число членов, тогда как т бит предполагают четное число битовых комбинаций. В любом случае либо одна битовая комбинация окажется лишней, либо одной комбинации будет недоставать. Лишнюю битовую комбинацию можно использовать для обозначения числа -0, для большого отрицательного числа или для чего-нибудь еще, но она всегда будет создавать неудобства.